文献类型： 中文期刊

第一作者： 聂继云

作者： 聂继云;马智勇;李静;杨振锋;张红军

作者机构：

期刊名称： 计算机与农业

ISSN： 1007-6581

年卷期： 2000 年 11 期

页码： 28-29+27

摘要： 在农业生产和科研中经常要研究两个变量间的定量关系。两个变量间的定量关系主要包括线性关系和非线性关系，在实践中更多的是非线性关系。一元非线性回归问题要求事先确定回归方程的函数类型，但回归方程的函数类型常常是不容易判断的。一元非线性问题可以转换为寻找一条曲线，因而可通过多项式逼近求得问题的解，因为任意曲线都可以近似地用多项式逼近。本文编制了多项式回归的QBasic应用程序，供大家参考使用。设p次多项式回归模型为y=b0+b1x+b2x2+…+bpxp。由n组实验观测数据得方程 AB=Y ........................................................... (1)其中，Y=(y1, y2, ...., yn)′ ，A=(a1, a2, ..., an) ′，ai=(1, xi, xi2, ...,xip)，B=(b0, b1, b2, ..., bp) ′ 。式(1)两端分别左乘 (A′A)-1A′Y 得 B=(A′A)-1A′Y .................................................. (2)则B的p+1个分量即为p次多项式回归模型的p+1个回归系数。以此为基础设计的多项式回归Qbasic程序如下：CLS'DXSHHG.basDIM a(n,m), b(m,m), c(m), d(m), y(n), dy(n,m+2) DIM LH(n)READ n, mym = 0FOR i = 1 TO n READ a(i, 2) FOR j = 1 TO m a(i, j) = a(i, 2) ^ (j - 1) dy(i, j) = a(i, j) NEXT j READ y(i) dy(i, m + 1) = y(i) ym = ym + y(i)NEXT iym = ym / nFOR i = 1 TO m FOR j = 1 TO m b(i, j) = 0 FOR k = 1 TO n b(i, j) = b(i, j) + a(k, i) * a(k, j) NEXT k NEXT jNEXT iFOR k = 1 TO m a = 1 / b(k, k) FOR i = 1 TO m FOR j = 1 TO m IF i <> k AND j <> k THEN b(i, j) = b(i, j) - b(i, k) * b(k, j) * a END IF NEXT j NEXT i FOR j = 1 TO m b(k, j) = b(k, j) * a b(j, k) = -b(j, k) * a NEXT j b(k, k) = a NEXT k FOR i = 1 TO m c(i) = 0 FOR k = 1 TO n c(i) = c(i) + a(k, i) * y(k) NEXT k NEXT i FOR i = 1 TO m d(i) = 0 FOR k = 1 TO m d(i) = d(i) + b(i, k) * c(k) NEXT k NEXT i PRINT " Result of regression" PRINT STRING$(47, "-") PRINT"x y y' |Err|%" PRINT STRING$(47, "-") Erm = 0 FOR i = 1 TO n LH(i) = d(1) FOR j = 2 TO m LH(i) = LH(i) + d(j) * dy(i, j) NEXT j LOCATE , 1: PRINT dy(i, 2); LOCATE , 14: PRINT dy(i, m + 1); Er=ABS(dy(i, m+1)-LH(i))/dy(i, m + 1)*10000+0.5 Erm = Erm + Er LOCATE , 28: PRINT LH(i), LOCATE , 42: PRINT USING "##.##"; INT(Er)/100 NEXT i PRINT STRING$(47, "-") PRINT " y'="; d(1); FOR i = 2 TO m IF d(i)>=0 THEN PRINT "+"; ELSE PRINT ""; PRINT d(i); "X^"; i - 1; NEXT i Q = 0: U = 0 FOR i = 1 TO n Q = Q + (dy(i, m + 1) - LH(i)) ^ 2 U = U + (LH(i) - ym) ^ 2 NEXT i F = U * (n - m) / Q / (m-1) PRINT PRINT USING " Mer=###.###%"; Erm / n / 100; PRINT " F="; F; " R="; SQR((m-1) * F/(n-m+(m-1)*F)) END DATA 10,4,5,625.0,6,1301.5,7,2442.6,8,3418.0,9,4213.2 DATA 10,5190.5,11,6100.5,12,6690.2,13,7309.8,14,7529.4 把上述程序输入计算机，得到名为“DXSHHG.bas”的程序，可反复运行。运行前进入Qbasi语言环境，用File菜单Open命令打开程序“DXSHHG.bas”，修改最后两行原始数据，其顺序为：n(样本点数，本文为10)，m(多项式回归模型的项数，根据需要确定)，(x1,y1)，(x2,y2)，...，(xn,yn)。 选择Run菜单的Start命令，回车，程序开始运行。屏幕依次显示各样本点的x值、y值、拟合值y′ 及拟合误差|Err|%，最后显示回归方程、平均拟合误差Mer、F检验值及复相关系数R。其中，|Err|=|(y-y′ )| /y×100；Mer为n个样本点的拟合误差的平均值，它是反映回归方程拟合精度的一个指标；F = U×(n - m) / Q / (m - 1)，其中，U为回归平方和，Q为剩余平方和；R可由R2 = (m - 1)×F / [ n - m + (m -1)×F ]求得。如果F>F0.01，则表明回归方程是显著的；同理，如果R>R0.01，则表明回归方程是显著的。这里，F0.01是指F0.01 (m - 1, n - m)，R0.01可根据R0.012 = (m - 1)×F0.01 / [ n - m + (m - 1)×F0.01 ]求得。 实践表明，对同一批原始数据，随着多项式回归模型项数m的不同，其回归方程的F值、R值和Mer也不同。当m从2开始逐步增加时，F值和R值逐步增加，Mer逐步减小。但当m达到某个值（设为mk）时，F值和R值达到最大，Mer达到最小，之后随着m的增加，F值和R值开始下降，Mer反而增加。因此，当m=mk时，所得回归方程即为最佳多项式回归模型。今有一组“晋光”苹果树龄 (x) 和龄均纯收入 (y) 数据（见表1），现求y关于x的多项式回归模型。程序运算结果显示，当m=4时，F值和R值最大，Mer最小（见表2），所得回归方程为最佳多项式回归模型。当m为4时，得回归模型y′ = - 845.2023 -401.3977x+173.9752x2-7.321801x3回归结果见表3。由表3可见，该模型回归精度相当高，平均回归误差Mer仅为2.778%。从图1更可直观地看出，各数据点均非常靠近回归曲线。查F检验临界值表得F0.01 ( 3, 7 )=8.45，由F0.01 ( 3, 7 )算得R0.01 =0.8852，可见F远大于F0.01 （3, 7 ），R大于R0.01，这表明x 和y的回归关系显著，即晋光苹果树龄和龄均纯收入间存在显著的三次多项式回归关系。进行多项式回归时，最佳回归模型项数mk事先难以确定。前已述及，利用本程序通过改变参数m可以求得mk，确定了mk就可用本程序轻而易举地求得最佳多项式回归模型了。故mk的确定至关重要。另外，需检验回归关系显著与否，本程序给出了回归模型的F检验值和R检验值，为回归关系显著性检验带来了方便。F检验和R检验的结果通常是一致的，所以用其中的一种方法检验即可。多项式回归及其QBasic程序@聂继云$农业部果品及苗木质量监督检验测试中心!辽宁兴城 125100 @马智勇$农业部果品及苗木质量监督检验测试中心!辽宁兴城 125100 @李静$农业部果品及苗木质量监督检验测试中心!辽宁兴城 125100 @杨振锋$农业部果品及苗木质量监督检验测试中心!辽宁兴城 125100 @张红军$农业部果品及苗木质量监督检验测试中心!辽宁兴城 1251001 白新桂.数据分析与实验优化设计.北京:清华大学出版社,1989,124～142 2 王有年,姚允聪,沈瑞骞.苹果品种间经济效益对比分析.北京农学院学报,1992,17(2):91～97

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